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冪函數的定義和性質， 冪函數知識點公式匯總

生活經驗知識分享

1、冪函數的概念
一般地，函數叫做冪函數，其中是自變量，是常數；其定義域是使有意義的值的集合 。例1、已知冪函數，且當時為減函數 。求冪函數的解析式 。
解析:正確理解冪函數的概念、形象和性質 。求冪函數的解析式，一般采用待定系數法 。理解冪函數的定義是解決問題的關鍵 。
解答：由于為冪函數，所以，解得，或 。當時，，在上為減函數；當時，，在上為常函數，不合題意，舍去 。故所求冪函數的解析式為 。
2.冪函數的圖像和性質
圖片:
自然:
(1)屏幕上定義了所有的冪函數，圖像被超點；
（2）如果，則冪函數的圖象過點和，并且在區間上是增函數；（3）如果，則冪函數的圖象過點，并在區間上是減函數 。在第一象限內，當從趨向于原點時，圖象在軸右方無限地逼近軸，當趨于時，圖象在軸上方無限地逼近軸；
(4)當它是奇數時，冪函數是奇數函數；當它是偶數時，冪函數是偶數 。
例2、比較，，的大小 。分析：先利用冪函數的增減性比較與的大小，再根據冪函數的圖象比較與的大小 。解答：而在上單調遞增，且
,
。故 。例3、若函數在區間上是遞減函數，求實數m的取值范圍 。
解析:本題考查簡單冪函數的性質和函數圖像的翻譯 。
函數是一個比較常用的冪函數，它也叫做反比例函數，其定義域是，是一個奇函數，對稱中心為（0，0），在和上都是遞減函數 。一般地，形如的函數都可以通過對的圖象進行變換而得到，所以這些函數的性質都可以借助的性質來得到 。解答：由于，所以函數的圖象是由冪函數
【冪函數的定義和性質， 冪函數知識點公式匯總】圖像是先向右移動2個單位，然后向上移動3個單位得到的，所以圖像如圖所示 。
其單調遞減區間是和，而函數在區間上是遞減函數，所以應有 。例4、若點在冪函數的圖象上，點在冪函數的圖象上，定義，試求函數的最大值及其單調區間 。分析：首先根據冪函數的定義求出，然后在同一坐標系下畫出函數和的圖象，得出的函數圖象，最后根據圖象求出最大值和單調區間 。解答：設，因為點在的圖象上，所以，所以，即；又設，點在的圖象上，所以，所以，即 。在同一坐標系下畫出函數和的圖象，如圖所示，則有 。根據圖象可知函數的最大值等于，其單調遞增區間是（，－1）和（0，1）；單調遞減區間是和 。例5、已知冪函數是偶函數，且在上是減函數，求函數的解析式，并討論的奇偶性 。分析：先根據單調性求出m的取值范圍，再由奇偶性進一步確定m的取值 。討論的奇偶性時要注意對字母的討論 。解答：由在上是減函數得，。∵，0，1 。又因為是偶函數，∴只有當時符合題意，故 。于是，
。
當且時，為非奇非偶函數；當且時，為奇函數；當且時，為偶函數；
而當，它既是奇數又是偶數 。
例6、已知冪函數在上是增函數，且在定義域上是偶函數 。
(1)求的值，寫出相應函數的解析式；
（2）對于（1）中求得的函數，設函數 。問是否存在實數，使得函數在區間上是減函數，且在區間上是增函數？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由 。
解析:第一個問題是根據單調性得出的取值范圍，然后是由奇偶性進一步確定的值 。第二個問題可以根據復合函數的單調性來解決 。
解答：（1）∵冪函數在上是增函數，∴∴又，∴∵在定義域上是偶函數，∴只有當時符合題意，故 。（2）由，則 。假設存在實數，使得滿足題設條件 。令，則 。∵在上是減函數，∴當時，；當時，。若在區間上是減函數，且在區間上是增函數，則在上是減函數，且在上是增函數，此時二次函數的對稱軸方程是即，∴
。
所以有實數，使得函數在區間內是減函數，在區間內是增函數 。

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