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數學漫步：tanx的導數是什么？你知道它是怎么來的嗎？

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【數學漫步：tanx的導數是什么？你知道它是怎么來的嗎？】tanx的導數是(secx)^2，即正切的導數是割線的平方 。我們可以嘗試用導數的定義公式，或者借用商的求導公式來求這個導數 。
先試試用導數f \'(x)= LIM(h-> 0)((f(x+h)-f(x))/h)的定義公式，因此(tanx)\' = LIM(h-> 0)((tan(x+h)-tanx)/h)= LIM(h-> 0)((tanx+tanh)/(1-tanx tanh)-tanx)/h)= LIM(h-)= LIM(h-> 0)(((tanh+(tanx)2 tanh))/(h(1-tanx tanx這里，應用lim(h->0)(tanh/h)=1，可以得到(tanx)\' = LIM (h->)
以上是利用導數的定義公式求切線的導函數的過程，比較復雜 。所以這種方法一般不用來求tanx的導數，而是用商的導數公式來求這個導函數 。
商的導數的公式是:當函數u(x)和v(x)都可導且v(x)不等于0時，導數(u(x)/v(x))\' =(u \'(x)v(x)u(x))/(u(x)即分數的導數(即商)，分母的平方為導數的分母，分子的導數乘以分母減去分母的導數再乘以分子為導數 。
因為tanx=sinx/cosx符合商的概念，所以tanx的導數就是正弦和余弦的商的導數 。分母cosx的平方為導數的分母，分子sinx的導數乘以分母cosx，即cosx的平方，減去分母cosx -sinx的導數乘以分子sinx，即減去-sinx的平方，從而為導數的分子 。分子=(cosx)2-(-(sinx)2)=(cosx)2+(sinx)2 = 1 。所以tanx的導數等于1/(cosx) 2 = (secx) 2 。
顯然，利用商的求導公式更容易求出tanx的導數，但不要因此而忽略了第一種方法 。在學習數學中，你應該盡力掌握任何方法 。就像吃飯一樣 。不能挑食，這樣才能充分吸收數學的營養 。

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