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冪函數的概念與性質，高中必看知識點歸納總結大全

生活經驗知識分享

1、冪函數的概念
一般稱一個函數為冪函數，其中自變量為常數；它的領域是有意義的值的集合 。
1.冪函數是已知的，當時是減函數 。求冪函數的解析公式 。
解析:正確理解冪函數的概念、形象和性質 。求冪函數的解析式，一般采用待定系數法 。理解冪函數的定義是解決問題的關鍵 。
答:因為是冪函數，
所以解決辦法還是 。
當時，它是一個遞減函數 。
當時，，是世界常數函數，不符合題意，放棄吧 。
因此，冪函數的解析式為 。
2.冪函數的圖像和性質
圖片:
自然:
(1)屏幕上定義了所有的冪函數，圖像被超點；
(2)如果是，則冪函數的圖像穿過點和并且是區間中的增函數；
(3)如果是，則冪函數的像過了點，是區間內的減函數 。在第一象限中，當從原點移動時，圖像無限接近軸右側的軸，當向原點移動時，圖像無限接近軸上方的軸 。
(4)當它是奇數時，冪函數是奇數函數；當它是偶數時，冪函數是偶數 。
2.比較…的大小 。
解析:先用冪函數的增減來比較和的大小，再根據冪函數的形象來比較和的大小 。
回答:
但是單調增加
,
。因此 。
3.如果函數在區間內是減函數，求實數m的取值范圍 。
解析:本題考查簡單冪函數的性質和函數圖像的翻譯 。
函數是常用的冪函數，也叫反比例函數 。它的定義域是一個奇函數，對稱中心是(0，0)，兩者都是減函數 。一般來說，具有形狀的函數可以通過變換圖像來獲得，所以這些函數的性質可以利用 。
回答:因為
，所以形象的函數是由一個冪函數組成的
圖像是先向右移動2個單位，然后向上移動3個單位得到的，所以圖像如圖所示 。
它的單調遞減區間是和，而函數在區間是遞減的，所以應該是 。
4.如果點在冪函數的像上，點在冪函數的像上，定義并試求函數的最大值及其單調區間 。
解析:首先根據冪函數的定義，在同一坐標系中畫出函數和的圖像，得到函數圖像 。最后根據圖像得到最大值和單調區間 。
答:假設，因為點在的像上，所以，所以，那就是；
假設這個點在圖像上，那么，那么，就是 。
在同一坐標系中畫出函數和的圖像，如圖所示，有
。
根據圖，函數的最大值等于，其單調遞增的區間為(，-1)和(0，1)；單調遞減區間是和 。
5.已知冪函數是一個偶函數，在地面上是一個減函數 。求函數的解析式，討論的奇偶性 。
解析:首先根據單調性得出m的取值范圍，然后通過奇偶性進一步確定m的取值 。討論…的奇偶性時注意字母的討論 。
回答:以上是負函數 。∵,0,1 。
因為是偶函數，∴只滿足當時題的意思，所以 。
因此
,
。
而當，是一個非奇非偶函數；
和時，是奇數函數；
而當，則是偶函數；
而當，它既是奇數又是偶數 。
6.眾所周知，冪函數是定義域中的增函數，甚至是定義域中的函數 。
(1)求的值，寫出相應函數的解析式；
(2)對于(1)中獲得的函數，設置函數 。問有沒有實數，使得函數在區間內是減函數，在區間內是增函數？如果是，請求的值；如果沒有，請說明原因 。
解析:第一個問題是根據單調性得出的取值范圍，然后是由奇偶性進一步確定的值 。第二個問題可以根據復合函數的單調性來解決 。
答:(1)冪函數是世界上的增函數，∴∴
再一次，∴
∵是定義域中的一個偶函數，∴當時只滿足題意，所以 。
②由，然后 。
假設有一個實數，這樣假設條件就滿足了 。那就點菜吧 。
∵這是一個遞減函數，當時的∴，；那時候 。
如果是區間內的減函數，區間內的增函數，則是上區間的減函數，上區間的增函數 。此時，二次函數的對稱軸方程為，
∴
。
所以有實數，使得函數在區間內是減函數，在區間內是增函數 。
冪函數的定義:
例如形狀為y = x a (a為常數)的函數，即以基數為自變量，以冪為因變量，以指數為常數的函數，稱為冪函數 。
域和值域:
當a為不同數值時，冪函數的定義域的不同情況如下:若a為任意實數，則函數的定義域為大于0的所有實數；如果a是負的，那么x一定不是0，但是那么函數的定義域也一定是有根的[根據Q的奇偶性，即如果Q同時是偶數，那么x不能小于0，那么函數的定義域就是所有大于0的實數；同時，如果q是奇數，函數的定義域是所有不等于0的實數 。當x為不同值時，冪函數的值域不同如下:當x大于0時，函數的值域總是大于0的實數 。當x小于0時，只有q同時是奇數，函數的取值范圍是非零實數 。只有當a為正值時，0才進入函數的取值范圍 。
自然:
【冪函數的概念與性質，高中必看知識點歸納總結大全】由于a的值是非零有理數，所以有必要將其分成幾種情況來討論它們各自的特點:
首先我們知道，如果a=p/q，q和p都是整數，那么x (p/q) = q的根(x的p次方)，如果q是奇數，函數的定義域是R，如果q是偶數，函數的定義域是[0，+∞) 。
當指數n為負整數時，設a=-k，則X = 1/(x k) 。很明顯，x≠0，函數的定義域是(-∞，0)∩(0，+∞) 。所以可以看出，X受到兩個因素的制約，一個是它可能作為分母而不是0，另一個是它有
排除0和負數兩種可能，即對于x>0，a可以是任意實數；
排除了零的可能性，即對于x0的所有實數，q不可能是偶數；
排除了為負的可能性，即對于所有x大于等于0的實數，a不能為負 。
綜上所述，我們可以得到當A為不同值時冪函數定義域的不同情況，如下:
若a為任意實數，則函數的定義域為大于0的所有實數；
如果a為負，那么x一定不為0，但那么函數的定義域也必須根據q的奇偶性來確定，即如果q同時為偶數，那么x不能小于0，那么函數的定義域就是所有大于0的實數；同時，如果q是奇數，函數的定義域是所有不等于0的實數 。
當x大于0時，函數值域總是大于實數0 。
當x小于0時，只有q同時是奇數，函數的取值范圍是非零實數 。
只有當a為正值時，0才進入函數的取值范圍 。
由于x大于0，對a的任何值都有意義，所以下面給出了冪函數在第一象限的各種情況 。
你可以看到:
(1)所有的數字都經過(1，1)的點 。
(2)當a大于0時，冪函數單調遞增，而當a小于0時，冪函數單調遞減 。
(3)當a大于1時，冪函數圖形是凹的；當a小于1大于0時，冪函數圖是凸的 。
(4)當a小于0時，a越小，圖形的傾斜度越大 。
(5)a大于0，函數超過(0，0)；a小于0，但函數只有(0，0)點 。
(6)顯然冪函數無解 。

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